和这一节对比着看

一、正项级数审敛法（所有项 an≥0a_n \geq 0）

正项级数的收敛性仅需判断其部分和是否有上界，以下是具体方法：

1. 基本定理

若部分和数列 {Sn}\{S_n\} 有上界，则级数收敛；否则发散。

2. 比较判别法

  • 直接比较法：
    若存在自然数 NN，使得当 n>Nn > N 时 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n，则：
    • ∑bn\sum b_n 收敛 ⇒∑an\Rightarrow \sum a_n 收敛；
    • ∑an\sum a_n 发散 ⇒∑bn\Rightarrow \sum b_n 发散。
      典型应用：与几何级数（如 ∑rn\sum r^n）或 pp-级数（如 ∑1np\sum \frac{1}{n^p}）比较。
一道例题

例题： 判断级数 ∑n=1∞1n2+n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n} 的敛散性。

解：
我们要判断级数 ∑n=1∞1n2+n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n} 的敛散性。考虑到当 nn 很大时，n2+nn^2 + n 的主项是 n2n^2，这提示我们可以与 p-级数 ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 进行比较。

对于 n≥1n \ge 1，我们有 n2+n>n2n^2 + n > n^2。
所以，对于 n≥1n \ge 1，有 0<1n2+n<1n20 < \frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2}。

我们知道级数 ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 是一个 p-级数，其中 p=2>1p=2 > 1，因此该级数是收敛的。

根据直接比较法，由于 0<1n2+n<1n20 < \frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2} 且级数 ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 收敛，所以级数 ∑n=1∞1n2+n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n} 收敛。

  • 极限比较法：
    若 lim⁡n→∞anbn=c (0<c<+∞)\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c \ (0 < c < +\infty)，则 ∑an\sum a_n 与 ∑bn\sum b_n 同敛散。
    适用场景：通项形式复杂但渐近于已知收敛性的级数。
一道例题

例题： 判断级数 ∑n=1∞nn2+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1} 的敛散性。

解：
我们要判断级数 ∑n=1∞nn2+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1} 的敛散性。当 nn 很大时，级数的通项 nn2+1\frac{n}{n^2 + 1} 约等于 nn2=1n\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}。这提示我们可以与调和级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 进行比较。

设 an=nn2+1a_n = \frac{n}{n^2 + 1}，bn=1nb_n = \frac{1}{n}。我们计算极限 lim⁡n→∞anbn\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}:

lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞nn2+11n=lim⁡n→∞nn2+1⋅n=lim⁡n→∞n2n2+1\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2 + 1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} \cdot n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1}

将分子分母同除以 n2n^2：

lim⁡n→∞11+1n2=11+0=1\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{1 + 0} = 1

得到的极限值 c=1c = 1 满足 0<c<+∞0 < c < +\infty 的条件。

我们知道级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 是调和级数，它是发散的。

根据极限比较法，由于 lim⁡n→∞nn2+11n=1\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2 + 1}}{\frac{1}{n}} = 1 (0<1<+∞0 < 1 < +\infty) 且级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散，所以级数 ∑n=1∞nn2+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1} 也发散。

3. 比值判别法（达朗贝尔判别法）

计算极限 L=lim⁡n→∞an+1anL = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}：

  • 若 L<1L < 1，级数收敛；
  • 若 L>1L > 1 或 L=+∞L = +\infty，级数发散；
  • 若 L=1L = 1，无法判定。
    适用场景：阶乘、指数项（如 an=n!10na_n = \frac{n!}{10^n}）。
一道例题

例题： 判断级数 ∑n=1∞n!10n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n} 的敛散性。

解：
这是一个含有阶乘和指数项的级数，非常适合使用比值判别法。
级数的通项为 an=n!10na_n = \frac{n!}{10^n}。
那么，an+1=(n+1)!10n+1a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}}。

我们计算极限 L=lim⁡n→∞an+1anL = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}:

L=lim⁡n→∞(n+1)!10n+1n!10nL = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}}{\frac{n!}{10^n}}

L=lim⁡n→∞(n+1)!10n+1⋅10nn!L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{n!}

展开 (n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n!，并将 10n+1=10n⋅1010^{n+1} = 10^n \cdot 10 代入：

L=lim⁡n→∞(n+1)⋅n!10n⋅10⋅10nn!L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n!}{10^n \cdot 10} \cdot \frac{10^n}{n!}

约去 n!n! 和 10n10^n:

L=lim⁡n→∞n+110L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10}

当 n→∞n \to \infty 时，n+1→∞n+1 \to \infty，所以：

L=+∞L = +\infty

根据比值判别法，计算得到的极限 L=+∞>1L = +\infty > 1，因此级数 ∑n=1∞n!10n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n} 发散。

4. 根值判别法（柯西判别法）

计算极限 L=lim⁡n→∞annL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}：

  • 若 L<1L < 1，级数收敛；
  • 若 L>1L > 1 或 L=+∞L = +\infty，级数发散；
  • 若 L=1L = 1，无法判定。
    适用场景：通项含高次幂（如 an=(n2n+1)na_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n）。
一个例子

例题： 判断级数 ∑n=1∞(n2n+1)n\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n 的敛散性。

解：
这是一个通项含有 nn 次幂的级数，非常适合使用根值判别法。
级数的通项为 an=(n2n+1)na_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n。注意到对于 n≥1n \ge 1，通项 ana_n 是非负的，所以 ∣an∣=an|a_n| = a_n。

我们计算极限 L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}:

L=lim⁡n→∞(n2n+1)nnL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}

L=lim⁡n→∞[(n2n+1)n]1nL = \lim_{n \to \infty} \left[\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}}

根据指数运算法则 (xa)b=xab(x^a)^b = x^{ab}，我们有：

L=lim⁡n→∞(n2n+1)n⋅1nL = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n \cdot \frac{1}{n}}

L=lim⁡n→∞n2n+1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1}

将分子分母同除以 nn:

L=lim⁡n→∞12+1nL = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}}

当 n→∞n \to \infty 时，1n→0\frac{1}{n} \to 0，所以：

L=12+0=12L = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2}

得到的极限值 L=12L = \frac{1}{2} 满足 L<1L < 1 的条件。

根据根值判别法，由于计算得到的极限 L=12<1L = \frac{1}{2} < 1，因此级数 ∑n=1∞(n2n+1)n\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n 收敛。

5. 积分判别法

若存在单调递减非负函数 f(x)f(x)，使得 f(n)=anf(n) = a_n，则级数 ∑an\sum a_n 与积分 ∫1+∞f(x)dx\int_{1}^{+\infty} f(x) dx 同敛散。
典型应用：pp-级数 ∑1np\sum \frac{1}{n^p}（收敛当且仅当 p>1p > 1）。
这个就不举例子了
p级数，p>1p > 1时收敛，p≤1p \le 1时发散，这一句话当结论记住

6. Raabe判别法

当比值法失效（即 L=1L=1）时，计算极限：

R=lim⁡n→∞n(anan+1−1)R = \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right)

  • 若 R>1R > 1，级数收敛；
  • 若 R<1R < 1，级数发散；
  • R=1R = 1 时仍需其他方法判定。
    适用场景：通项含多项式或组合形式（如 an=1n2a_n = \frac{1}{n^2}）。

感觉比值审敛法、根值审敛法比比较审敛法实用啊，比较审敛法哪有那么容易让我刚好找到一个适合比较的级数

二、任意项级数审敛法（含正负项）

对任意项级数 ∑an\sum a_n，需结合绝对值或符号规律分析：

1. 绝对收敛与条件收敛

  • 若 ∑∣an∣\sum |a_n| 收敛，则原级数 ∑an\sum a_n 绝对收敛（必收敛）。
  • 若 ∑an\sum a_n 收敛但 ∑∣an∣\sum |a_n| 发散，则称为条件收敛（如交错调和级数）。

2. 交错级数审敛法（莱布尼茨判别法）

对交错级数 ∑(−1)nan (an≥0)\sum (-1)^{n} a_n \ (a_n \geq 0)，若满足：

  • ana_n 单调递减（即 an+1≤ana_{n+1} \leq a_n）；
  • lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0，
    则级数收敛。
    典型例子：∑(−1)nn\sum \frac{(-1)^n}{n}（条件收敛）。

3. 阿贝尔判别法（Abel’s Test）

若级数 ∑anbn\sum a_n b_n 满足：

  • ∑an\sum a_n 收敛；
  • {bn}\{b_n\} 单调有界，
    则 ∑anbn\sum a_n b_n 收敛。

4. 狄利克雷判别法（Dirichlet’s Test）

若级数 ∑anbn\sum a_n b_n 满足：

  • {an}\{a_n\} 单调趋于零；
  • ∑bn\sum b_n 的部分和有界，
    则 ∑anbn\sum a_n b_n 收敛。
    应用示例：∑(−1)nsin⁡nn\sum \frac{(-1)^n \sin n}{n}。

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法在反常积分的时候就用过了

三、综合选择策略

  1. 正项级数优先：先取绝对值判断是否绝对收敛。
  2. 比值/根值法快速筛查：适用于含阶乘、指数项的级数。
  3. 比较法处理复杂通项：通过已知级数（如 pp-级数）对比。
  4. 交错级数注意莱布尼茨条件：验证单调性和极限为零。
  5. 条件收敛需谨慎：避免误用绝对收敛的结论（如重排可能改变和）。

四、常见级数敛散性结论

级数类型 通项形式 收敛条件
几何级数 ∑rn\sum r^n r<1r<1
pp-级数 ∑1np\sum \frac{1}{n^p} p>1p > 1
调和级数 ∑1n\sum \frac{1}{n} 发散
交错调和级数 ∑(−1)nn\sum \frac{(-1)^n}{n} 条件收敛（p=1p=1）