type one：求级数的和函数

  1. 一定一定要牢记那五个麦克劳林公式
  2. 一定一定要记得先求收敛半径和收敛域

通过裂项求

（这个比较简单，不总结了
例题：∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =

通过求导

∑n=0∞n2xn 的和函数为 S(x)=____.\sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n \text{ 的和函数为} \, S(x) = \_\_\_\_.
答案

S(x)=∑n=0∞n2xn=∑n=1∞n2xn=∑n=1∞[n(n−1)+n]xn=∑n=2∞n(n−1)xn+∑n=1∞nxn=x2∑n=2∞n(n−1)xn−2+x∑n=1∞nxn−1=x2(∑n=2∞xn)′′+x(∑n=1∞xn)′=x2(x21−x)′′+x(x1−x)′=x2+x(1−x)3.\begin{aligned} S(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} n^{2} x^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} [n(n-1) + n] x^{n} \\ &= \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} \\ &= x^{2} \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} + x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} \\ &= x^{2} \left( \sum_{n=2}^{\infty} x^{n} \right)^{\prime\prime} + x \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \right)^{\prime} \\ &= x^{2} \left( \frac{x^{2}}{1 - x} \right)^{\prime\prime} + x \left( \frac{x}{1 - x} \right)^{\prime} \\ &= \frac{x^{2} + x}{(1 - x)^{3}}. \end{aligned}

通过积分

级数∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n+1}的收敛域为 ，和函数为 .

由lim⁡n→∞∣an+1an∣=1 得收敛半径为 R=1,当 x=±1 时,∑n=0∞(−1)n2n+1(±1)2n+1=±∑n=0∞(−1)n2n+1 收敛,故收敛域为 [-1,1],S( x)=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1=∑n=0∞∫0x(−1)nx2ndx=∫0x[∑n=0∞(−1)nx2n]dx=∫0x11+x2dx=arctan⁡x.\begin{align*} &\text{由} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1 \text{ 得收敛半径为 } R = 1, \\ &\text{当 } x = \pm 1 \text{ 时}, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} (\pm 1)^{2n+1} = \pm \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ 收敛,故收敛域为 [-1,1],} \\ &\text{S}(\text{ } x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} (-1)^n x^{2n} \mathrm{d} x = \int_{0}^{x} \left[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \right] \mathrm{d} x \\ &= \int_{0}^{x} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x = \arctan x. \end{align*}

PS: x不能等于0的时候要单独讨论，比如下边一道题

幂级数 ∑n=0∞(−1)nx2n2n+1\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2n + 1} 的和函数。
5. 解 由lim⁡n→∞∣an+1an∣=1\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}| = 1得收敛半径为R=1R = 1，当x=±1x = \pm1时级数∑n=0∞(−1)n2n+1\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}收敛，故级数的收敛域为[−1,1][-1,1]。

令S(x)=∑n=0∞(−1)nx2n2n+1S(x)=\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n + 1}，

S(0)=1S(0)=1；

当x≠0x \neq 0时，

S(x)=1x∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1=1x∫0x[∑n=0∞(−1)nx2n]dx=1x∫0x11+x2dx=arctan⁡xx，\begin{align*} S(x)&=\frac{1}{x}\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n + 1}}{2n + 1}\\ &=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\left[\sum\limits_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\right]dx\\ &=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{1}{1 + x^{2}}dx\\ &=\frac{\arctan x}{x}， \end{align*}

故

S(x)={1,x=0arctan⁡xx,0<∣x∣≤1S(x)=\begin{cases} 1, & x = 0\\ \frac{\arctan x}{x}, & 0 < |x| \leq 1 \end{cases}

type two: 给出一个函数展开为某个项的幂级数

将 f(x)=1x2−1f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} 展开成 (x−2)(x - 2) 的幂级数。
解 f(x)=1x2−1=12(1x−1−1x+1)f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right),

1x−1=11+(x−2)=∑n=0∞(−1)n(x−2)n,1<x<3;\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1+(x-2)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-2)^{n}, \quad 1<x<3;

1x+1=13+(x−2)=13⋅11+x−23=∑n=0∞(−1)n3n+1(x−2)n,−1<x<5,\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3+(x-2)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-2}{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n+1}}(x-2)^{n}, \quad -1<x<5,

故 f(x)=12∑n=0∞[(−1)n−(−1)n3n+1](x−2)n,1<x<3.\text{故 } f(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left[(-1)^{n}-\frac{(-1)^{n}}{3^{n+1}}\right](x-2)^{n}, \quad 1<x<3.

这种题的技巧就是将裂开的项的分母，变换成含有(x - 2)的项

type three：判断级数的敛散性

太灵活了，感觉碰到只能放弃了，变化一点就不会了

  1. 判断级数 ∑n=1∞1∫0n1+x44 dx\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\int_{0}^{n}\sqrt[4]{1+x^{4}}\mathrm{~d} x} 的敛散性。
    这一道是缩放（讨厌缩放
  2. 判断级数 ∑n=1∞(1n−ln⁡n+1n)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n}\right) 的敛散性。
    这一道是求极限，括号里的最后一项通过泰勒展开写
    答案
  3. 解 由 ∫0n1+x44dx⩾∫0nxdx=n22\int_{0}^{n}\sqrt[4]{1+x^{4}}\mathrm{d}x \geqslant \int_{0}^{n}x\mathrm{d}x = \frac{n^{2}}{2} 得

0<1∫0n1+x44dx⩽2n2,0 < \frac{1}{\int_{0}^{n}\sqrt[4]{1+x^{4}}\mathrm{d}x} \leqslant \frac{2}{n^{2}},

而级数 ∑n=1∞2n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{2}} 收敛，由正项级数的比较审敛法得级数

∑n=1∞1∫0n1+x44dx 收敛。\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\int_{0}^{n}\sqrt[4]{1+x^{4}}\mathrm{d}x}\text{ 收敛。}

  1. 解 由 ln⁡(1+x)<x (x>0)\ln(1+x) < x\ (x>0) 得

ln⁡n+1n=ln⁡(1+1n)<1n,\ln\frac{n+1}{n} = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n},

则原级数为正项级数。由

lim⁡x→0x−ln⁡(1+x)x2=12\lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}

得

lim⁡n→∞1n−ln⁡n+1n1n2=12,\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n}}{\frac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{2},

且 ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} 收敛，由正项级数比较审敛法得

∑n=1∞(1n−ln⁡n+1n) 收敛。\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n}\right)\text{ 收敛。}

type four：求级数的收敛半径和收敛域

这个算是最简单的题型了
一般的方法是求lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ.\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|= ρ.
可以根据这个直接写R的范围
切忌！！！ 还有端点的敛散性，需要额外判断
另外还有一点就是，收敛半径是针对指数n下边的全部来说的，收敛域指的是x的范围
eg：求这个级数的收敛半径和收敛域∑n=1∞(2x−1)nn22n.\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(2x-1\right)^{n}}{n^2 2^n}.
由 lim⁡n→∞∣an+1an∣=12\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{2} 得收敛半径 R=2R = 2；

当 2x−1=±22x - 1 = \pm 2 时，

∑n=1∞∣(±2)nn22n∣=∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(\pm 2)^n}{n^2 2^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

收敛，即原级数绝对收敛，故 −2⩽2x−1⩽2-2 \leqslant 2x - 1 \leqslant 2，

即收敛域为 [−12,32]\left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]。
这一道最能说明这个问题
级数∑n=0∞an(2x−1)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(2x-1)^n在x=−2x=-2处收敛，在x=3x=3处发散，则级数∑n=0∞anx2n\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}的收敛半径为_。

设级数∑n=0∞an(2x−1)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n (2x - 1)^n的收敛半径为RR，

显然 ∣2×(−2)−1∣≤R|2 \times (-2) - 1| \leq R, ∣2×3−1∣≥R|2 \times 3 - 1| \geq R, 得R=5R = 5,

故级数∑n=0∞anx2n\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}的收敛半径为5\sqrt{5}。

在这个问题里，∑n=0∞anx2n\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}收敛半径指的是指数n下边的x2x^2