行列式、矩阵习题总结

行列式

type one：余子式与代数余子式

设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a= ____。

这个利用行列式的展开来解，某一行的元素乘以对应的代数余子式相加就是行列式的值
这里给出了第二行的代数余子式，把第二行的元素填充为第一行的元素，那么这个行列式有两个相同比例的行所以结果就是0
得出式子由 (a + 1) + 2(a - 2) + 3(a - 1) = 0 得 a = 1。

注：余子式是不带符号去掉这个元素所在行列剩下元素组成的行列式；代数余子式是带上符号的余子式，这个符号是 $(-1)^{行数加列数}$

type two：行列式的求解

通过变换变成上三角或者下三角，然后主对角线相乘（哎，真的难总结，简单的很简单，难得就是变不出来）
将行列式通过代数余子式展开
特殊的行列式求解
1. 负对角线行列式：也是对角线相乘，只不过前边加一个符号（ $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ ）
  啊哈，相邻行调换一次是-1,就是求调换了多少次，这个可以和冒泡排序联系起来，都是和相邻的调换位置，复杂度也是这个-1的指数
2. 拉普拉斯展开式：
  $\begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|,$
  
  $\begin{vmatrix}O&A\\B&O\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}C&A\\B&O\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}O&A\\B&C\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|.$
3. 范德蒙德行列式： $\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j)$
盯着第二行，后一项减前一项的所有项的乘积

type three：克拉默法则

把方程所有的系数组成行列式作为分母，求第几个x就把方程右边的常数替换行列式中对应的一列组成新的行列式，这个新的行列式作为分子，分子除以分母就是x的解

还有一些抽象矩阵没法总结，也可难写，实在不会就放弃算了，抽象死了

矩阵

type one：伴随矩阵与逆矩阵转换公式的运用

$A^*=|A|A^{-1},|A|^*=|A|^{n-1}$

应用一：
设 $A$ 为四阶矩阵， $|A^{*}|=8$ ，则 $\left|\left(\frac{1}{4}A\right)^{-1}-3A^{*}\right|=$ .
应用二：给出一个关系式，求相关的矩阵
设三阶矩阵 $A$ , $B$ 满足关系 $A^{-1}BA = 6A + BA$ ，且 $A=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{4} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{7}\end{pmatrix}$ ，则 $B=$ 。
这个关系式有时候很抽象，没法变，一步一步试吧。我也无法

type two：与秩有关的问题

与秩有关的几个公式

$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$ ；
$r(A + B) \leq r(A) + r(B)$ ；
$r(A^{*})=\begin{cases} n, & r(A)=n, \\ 1, & r(A)=n-1, \\ 0, & r(A)<n-1, \end{cases}$ 其中 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶方阵；
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $P$ ， $Q$ 分别是 $m$ 阶、 $n$ 阶可逆矩阵，则
$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$ ；
若 $A_{m \times n}B_{n \times s}=O$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$ ；
$r(A)=r(A^{T})=r(A^{T}A)=r(AA^{T})$ 。
嗨嗨嗨，我也不理解，只能死记，感觉吃透3blue1brown的视频会理解？

设 $A$ 是 $4 \times 3$ 阶矩阵且 $r(A)=2$ ， $B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{pmatrix}$ ，则 $r(AB)=$ _____。
这一题是第一个公式，|B|不等于零所以是满秩，A的秩最小，所以AB的秩等于A的秩

设 $A=\begin{pmatrix}1 & a & -2 \\ b & 3 & c \\ 2 & d & -5\end{pmatrix}$ ， $B$ 为三阶非零矩阵，且 $AB=O$ ，则 $r(A)=$ _____。
第五个公式，B是非零矩阵所以秩肯定≥1, 这个是3x3,n=3 所以A的秩加上B的秩≤3,B占了一个，A还有两个，然后从矩阵上看可以确定有两行不成比例，所以A的秩是2

type three：初等矩阵的变换

初等变换的类型
交换矩阵：交换第一行（列）和第二行（列）
$E_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
倍乘矩阵：某一行（或列）乘以非零常数 k 的初等矩阵
$E_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
倍加矩阵：某一行（或列）加上另一行的 k 倍
$E_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}$
左乘和右乘的作用
左乘是行变换，右乘是列变换
初等矩阵的逆矩阵的作用
1. 交换矩阵的逆矩阵和本身的作用一样
2. 倍乘矩阵的逆矩阵的作用是除以k，也就是乘以 $\frac{1}{k}$
3. 倍加矩阵的逆矩阵的作用是减去另一行的k倍

例题：
设 $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}a_{31} & a_{32} & a_{33}-2a_{32} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}-2a_{22} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13}-2a_{12}\end{pmatrix}$ ，又 $P_{1}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ ， $P_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ ，则( D)。

(A) $B=P_{1}AP_{2}$
(B) $B=P_{2}AP_{1}$
(C) $B=P_{2}^{-1}AP_{1}$
(D) $B=P_{1}^{-1}AP_{2}^{-1}$